AsymptoticExpansion

LandauDistribution - AsymptoticExpansion

λ → ∞

Method

Coefficients

Solving ω(λ)

CDF

Result

PDF

CDF

a_n⁺ Table

Coef Generation(Maxima)
Coef Generation(C#)

n	an+	n	an+
0	1
1	-1.8455686701969342787869758198352e0	17	-7.473037064232904501153754770809e10
2	-4.2846407430383847531337500817788e0	18	2.5073900240223071762995962264081e11
3	4.1988388606748058522382804473143e1	19	-1.4000645356418152010175124708595e11
4	-1.501425422434703431187317449966e2	20	-5.3842165777860629184398218793877e12
5	1.6971436527143008075893638967026e2	21	4.8989290125692282955358423097121e13
6	1.5308616756114047472784342097796e3	22	-2.713615081124373121084075045711e14
7	-1.2533161673697188765231718497799e4	23	9.9130304409439902548606801414022e14
8	5.2275779467011993580700329545325e4	24	-1.0753726745675913138969410391902e15
9	-1.038430735006061411019104023744e5	25	-1.843135861393738990149631403431e16
10	-3.5251556573222108643855810474626e5	26	1.9338031513325874276553577223558e17
11	4.7135194794390860194285790983463e6	27	-1.1917849406057678904496051676919e18
12	-2.6652557526212509771445798686047e7	28	5.0687431034591412775361253078221e18
13	9.242071471131500177077813575708e7	29	-1.0765430037665388507998356013818e19
14	-8.6050618329570458836691382506984e7	30	-5.2748784709128851529956479050806e19
15	-1.5235410325018326969458736793947e9	31	8.0803613728214172463710232272934e20
16	1.407099073481079449657382577173e10	32	-5.8667789882105999385398456507654e21

A_n⁺ Table

n	An+	n	An+
0	1
1	-4.22784335098467139393487909917598e-1	17	-3.36996555041768058416465121868669e9
2	-2.04340313774510634397357530053799e0	18	9.26361219788956171675905657540647e9
3	9.42593696592741844231226359784113e0	19	5.53662744190245987641041877774315e9
4	-2.16308307273444569192697881046907e1	20	-2.63058239588106878025789196498743e11
5	3.26197050465995627336744077894320e0	21	1.98204879763210091076902732807881e12
6	2.42939434411833546862481514207122e2	22	-9.66835730377152300665430789017290e12
7	-1.37528749976072300224416053600238e3	23	2.99975639992484047240691878987135e13
8	4.41584642147942275727429011639187e3	24	-3.36278521892769153643492100199807e12
9	-5.15672940335941475212100728290752e3	25	-7.50258895711730046745894425903854e14
10	-4.14871490211661115945880461018779e4	26	6.47959098219708714311257252597285e15
11	3.63416992808905411082501749466672e5	27	-3.56573080525896124172881926948689e16
12	-1.68761831129026336553978612213082e6	28	1.33688212512185289209880004832075e17
13	4.69772551322160657138088121935948e6	29	-1.89889564473541574348741023533191e17
14	4.24673092116302862272450216673072e5	30	-2.04884563699336258186951080853625e18
15	-1.00599478176962697236410316368853e8	31	2.36027297679066522845983076149541e19
16	7.38085276606409517625173652490289e8	32	-1.53295237906922976178871009940487e20

λ → -∞

Method

Coefficients

CDF

Result

PDF

CDF

a_n^- Table

Coef Generation(Maxima)
Coef Generation(C#)

n	an-	n	an-
0	1
1	4.1666666666666666666666666666667e-2	17	6.1932676895209565172215043536749e10
2	-1.9965277777777777777777777777778e-2	18	-1.0039824521908306780947367867097e12
3	2.7095389660493827160493827160494e-2	19	1.7279319442064386104213877111774e13
4	-6.2351581589184670781893004115226e-2	20	-3.1467009315171545877184526534721e14
5	2.0391846525419139170585929845189e-1	21	6.0450922133602351922431182619334e15
6	-8.670031318838561510700745204346e-1	22	-1.2217767925675636216176734305514e17
7	4.5426516843887533456883753134503e0	23	2.5915439300756033639565105600274e18
8	-2.830592578017109258729212240995e1	24	-5.7562166670344378832311571895652e19
9	2.0451818546542220333087426300247e2	25	1.3361233857959658703145953114517e21
10	-1.6813568868285159626607128419238e3	26	-3.2350433710979255219468019302945e22
11	1.5498739734317828954356663537424e4	27	8.1563568360495422024961750444069e23
12	-1.5833122410933257255236894617533e5	28	-2.1380161666786843577901558508933e25
13	1.7755426986341148775626910601432e6	29	5.8182404754774285253499783968669e26
14	-2.1684540598175208659842261937025e7	30	-1.6415388367931315071590403099478e28
15	2.8649737325187875451374819463883e8	31	4.7956032217814377501748579801575e29
16	-4.0715484046294177678121818196588e9	32	-1.4489668164682076508416785769338e31

A_n^- Table

n	An-	n	An-
0	1
1	-4.58333333333333333333333333333333e-1	17	-4.00164923307333045965649345768461e13
2	6.67534722222222222222222222222222e-1	18	6.99284633335641999761791618308097e14
3	-1.64174141589506172839506172839506e0	19	-1.29194863972673126094889310615880e16
4	5.68374337404353137860082304526749e0	20	2.51615314653560880426262310435619e17
5	-2.53729267179416998119978444052518e1	21	-5.15206885818463781354613424566826e18
6	1.38684093816795492814918069708450e2	22	1.10647302771712956629080118938813e20
7	-8.96903958124781949951279077791477e2	23	-2.48697276843346592079034616556325e21
8	6.69847376015569353204730096102613e3	24	5.83862978915161047597408233188408e22
9	-5.67325087758579728190711839057196e4	25	-1.42912817495634860074333557600015e24
10	5.37277476483822225818515534262413e5	26	3.64104180276759100637355891687008e25
11	-5.62591476334581554214005644621791e6	27	-9.64060442049806662468743495466132e26
12	6.45396885543675461620582801853306e7	28	2.64902819947028963743125445668097e28
13	-8.04970564230960212148165811256489e8	29	-7.54391212801484803815372522314389e29
14	1.08454180765197876553403961900256e10	30	2.22381253892758703974818990051750e31
15	-1.56972064736285042247921996560732e11	31	-6.77783264050735903348180433859822e32
16	2.42899545500778873707497876487169e12	32	2.13356831494334988789592668808151e34

Reference

K.S. Kölbig and B. Schorr, "Asymptotic expansions for the Landau density and distribution functions" (1983)
^{The lack of accuracy after term 4 of the Φ function is likely due to the fact that the zeta function is not evaluated with odd integers.}